3.11 \(\int x^3 \cot ^3(a+b x) \, dx\)

Optimal. Leaf size=202 \[ -\frac {3 i \text {Li}_2\left (e^{2 i (a+b x)}\right )}{2 b^4}-\frac {3 i \text {Li}_4\left (e^{2 i (a+b x)}\right )}{4 b^4}-\frac {3 x \text {Li}_3\left (e^{2 i (a+b x)}\right )}{2 b^3}+\frac {3 x \log \left (1-e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac {3 i x^2 \text {Li}_2\left (e^{2 i (a+b x)}\right )}{2 b^2}-\frac {3 x^2 \cot (a+b x)}{2 b^2}-\frac {x^3 \log \left (1-e^{2 i (a+b x)}\right )}{b}-\frac {x^3 \cot ^2(a+b x)}{2 b}-\frac {3 i x^2}{2 b^2}-\frac {x^3}{2 b}+\frac {i x^4}{4} \]

[Out]

-3/2*I*x^2/b^2-1/2*x^3/b+1/4*I*x^4-3/2*x^2*cot(b*x+a)/b^2-1/2*x^3*cot(b*x+a)^2/b+3*x*ln(1-exp(2*I*(b*x+a)))/b^
3-x^3*ln(1-exp(2*I*(b*x+a)))/b-3/2*I*polylog(2,exp(2*I*(b*x+a)))/b^4+3/2*I*x^2*polylog(2,exp(2*I*(b*x+a)))/b^2
-3/2*x*polylog(3,exp(2*I*(b*x+a)))/b^3-3/4*I*polylog(4,exp(2*I*(b*x+a)))/b^4

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.30, antiderivative size = 202, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 13, number of rules used = 10, integrand size = 12, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.833, Rules used = {3720, 3717, 2190, 2279, 2391, 30, 2531, 6609, 2282, 6589} \[ \frac {3 i x^2 \text {PolyLog}\left (2,e^{2 i (a+b x)}\right )}{2 b^2}-\frac {3 x \text {PolyLog}\left (3,e^{2 i (a+b x)}\right )}{2 b^3}-\frac {3 i \text {PolyLog}\left (2,e^{2 i (a+b x)}\right )}{2 b^4}-\frac {3 i \text {PolyLog}\left (4,e^{2 i (a+b x)}\right )}{4 b^4}-\frac {3 x^2 \cot (a+b x)}{2 b^2}+\frac {3 x \log \left (1-e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac {x^3 \log \left (1-e^{2 i (a+b x)}\right )}{b}-\frac {x^3 \cot ^2(a+b x)}{2 b}-\frac {3 i x^2}{2 b^2}-\frac {x^3}{2 b}+\frac {i x^4}{4} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[x^3*Cot[a + b*x]^3,x]

[Out]

(((-3*I)/2)*x^2)/b^2 - x^3/(2*b) + (I/4)*x^4 - (3*x^2*Cot[a + b*x])/(2*b^2) - (x^3*Cot[a + b*x]^2)/(2*b) + (3*
x*Log[1 - E^((2*I)*(a + b*x))])/b^3 - (x^3*Log[1 - E^((2*I)*(a + b*x))])/b - (((3*I)/2)*PolyLog[2, E^((2*I)*(a
+ b*x))])/b^4 + (((3*I)/2)*x^2*PolyLog[2, E^((2*I)*(a + b*x))])/b^2 - (3*x*PolyLog[3, E^((2*I)*(a + b*x))])/(
2*b^3) - (((3*I)/4)*PolyLog[4, E^((2*I)*(a + b*x))])/b^4

Rule 30

Int[(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Simp[x^(m + 1)/(m + 1), x] /; FreeQ[m, x] && NeQ[m, -1]

Rule 2190

Int[(((F_)^((g_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))))^(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.))/((a_) + (b_.)*((F_)^((g_.)*((e_.) +
(f_.)*(x_))))^(n_.)), x_Symbol] :> Simp[((c + d*x)^m*Log[1 + (b*(F^(g*(e + f*x)))^n)/a])/(b*f*g*n*Log[F]), x]
- Dist[(d*m)/(b*f*g*n*Log[F]), Int[(c + d*x)^(m - 1)*Log[1 + (b*(F^(g*(e + f*x)))^n)/a], x], x] /; FreeQ[{F,
a, b, c, d, e, f, g, n}, x] && IGtQ[m, 0]

Rule 2279

Int[Log[(a_) + (b_.)*((F_)^((e_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))))^(n_.)], x_Symbol] :> Dist[1/(d*e*n*Log[F]), Subst[Int
[Log[a + b*x]/x, x], x, (F^(e*(c + d*x)))^n], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, n}, x] && GtQ[a, 0]

Rule 2282

Int[u_, x_Symbol] :> With[{v = FunctionOfExponential[u, x]}, Dist[v/D[v, x], Subst[Int[FunctionOfExponentialFu
nction[u, x]/x, x], x, v], x]] /; FunctionOfExponentialQ[u, x] &&  !MatchQ[u, (w_)*((a_.)*(v_)^(n_))^(m_) /; F
reeQ[{a, m, n}, x] && IntegerQ[m*n]] &&  !MatchQ[u, E^((c_.)*((a_.) + (b_.)*x))*(F_)[v_] /; FreeQ[{a, b, c}, x
] && InverseFunctionQ[F[x]]]

Rule 2391

Int[Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_.))]/(x_), x_Symbol] :> -Simp[PolyLog[2, -(c*e*x^n)]/n, x] /; FreeQ[{c, d,
e, n}, x] && EqQ[c*d, 1]

Rule 2531

Int[Log[1 + (e_.)*((F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))))^(n_.)]*((f_.) + (g_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> -Simp[((
f + g*x)^m*PolyLog[2, -(e*(F^(c*(a + b*x)))^n)])/(b*c*n*Log[F]), x] + Dist[(g*m)/(b*c*n*Log[F]), Int[(f + g*x)
^(m - 1)*PolyLog[2, -(e*(F^(c*(a + b*x)))^n)], x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, e, f, g, n}, x] && GtQ[m, 0]

Rule 3717

Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*tan[(e_.) + Pi*(k_.) + (f_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[(I*(c + d*x)^(m + 1))/(d*
(m + 1)), x] - Dist[2*I, Int[((c + d*x)^m*E^(2*I*k*Pi)*E^(2*I*(e + f*x)))/(1 + E^(2*I*k*Pi)*E^(2*I*(e + f*x)))
, x], x] /; FreeQ[{c, d, e, f}, x] && IntegerQ[4*k] && IGtQ[m, 0]

Rule 3720

Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*((b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[(b*(c + d*x)^m*(b*Tan[e
+ f*x])^(n - 1))/(f*(n - 1)), x] + (-Dist[(b*d*m)/(f*(n - 1)), Int[(c + d*x)^(m - 1)*(b*Tan[e + f*x])^(n - 1)
, x], x] - Dist[b^2, Int[(c + d*x)^m*(b*Tan[e + f*x])^(n - 2), x], x]) /; FreeQ[{b, c, d, e, f}, x] && GtQ[n,
1] && GtQ[m, 0]

Rule 6589

Int[PolyLog[n_, (c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(p_.)]/((d_.) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[PolyLog[n + 1, c*(a
+ b*x)^p]/(e*p), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, p}, x] && EqQ[b*d, a*e]

Rule 6609

Int[((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*PolyLog[n_, (d_.)*((F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))))^(p_.)], x_Symbol] :> Simp
[((e + f*x)^m*PolyLog[n + 1, d*(F^(c*(a + b*x)))^p])/(b*c*p*Log[F]), x] - Dist[(f*m)/(b*c*p*Log[F]), Int[(e +
f*x)^(m - 1)*PolyLog[n + 1, d*(F^(c*(a + b*x)))^p], x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, f, n, p}, x] && GtQ[m,
0]

Rubi steps

\begin {align*} \int x^3 \cot ^3(a+b x) \, dx &=-\frac {x^3 \cot ^2(a+b x)}{2 b}+\frac {3 \int x^2 \cot ^2(a+b x) \, dx}{2 b}-\int x^3 \cot (a+b x) \, dx\\ &=\frac {i x^4}{4}-\frac {3 x^2 \cot (a+b x)}{2 b^2}-\frac {x^3 \cot ^2(a+b x)}{2 b}+2 i \int \frac {e^{2 i (a+b x)} x^3}{1-e^{2 i (a+b x)}} \, dx+\frac {3 \int x \cot (a+b x) \, dx}{b^2}-\frac {3 \int x^2 \, dx}{2 b}\\ &=-\frac {3 i x^2}{2 b^2}-\frac {x^3}{2 b}+\frac {i x^4}{4}-\frac {3 x^2 \cot (a+b x)}{2 b^2}-\frac {x^3 \cot ^2(a+b x)}{2 b}-\frac {x^3 \log \left (1-e^{2 i (a+b x)}\right )}{b}-\frac {(6 i) \int \frac {e^{2 i (a+b x)} x}{1-e^{2 i (a+b x)}} \, dx}{b^2}+\frac {3 \int x^2 \log \left (1-e^{2 i (a+b x)}\right ) \, dx}{b}\\ &=-\frac {3 i x^2}{2 b^2}-\frac {x^3}{2 b}+\frac {i x^4}{4}-\frac {3 x^2 \cot (a+b x)}{2 b^2}-\frac {x^3 \cot ^2(a+b x)}{2 b}+\frac {3 x \log \left (1-e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac {x^3 \log \left (1-e^{2 i (a+b x)}\right )}{b}+\frac {3 i x^2 \text {Li}_2\left (e^{2 i (a+b x)}\right )}{2 b^2}-\frac {3 \int \log \left (1-e^{2 i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^3}-\frac {(3 i) \int x \text {Li}_2\left (e^{2 i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^2}\\ &=-\frac {3 i x^2}{2 b^2}-\frac {x^3}{2 b}+\frac {i x^4}{4}-\frac {3 x^2 \cot (a+b x)}{2 b^2}-\frac {x^3 \cot ^2(a+b x)}{2 b}+\frac {3 x \log \left (1-e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac {x^3 \log \left (1-e^{2 i (a+b x)}\right )}{b}+\frac {3 i x^2 \text {Li}_2\left (e^{2 i (a+b x)}\right )}{2 b^2}-\frac {3 x \text {Li}_3\left (e^{2 i (a+b x)}\right )}{2 b^3}+\frac {(3 i) \operatorname {Subst}\left (\int \frac {\log (1-x)}{x} \, dx,x,e^{2 i (a+b x)}\right )}{2 b^4}+\frac {3 \int \text {Li}_3\left (e^{2 i (a+b x)}\right ) \, dx}{2 b^3}\\ &=-\frac {3 i x^2}{2 b^2}-\frac {x^3}{2 b}+\frac {i x^4}{4}-\frac {3 x^2 \cot (a+b x)}{2 b^2}-\frac {x^3 \cot ^2(a+b x)}{2 b}+\frac {3 x \log \left (1-e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac {x^3 \log \left (1-e^{2 i (a+b x)}\right )}{b}-\frac {3 i \text {Li}_2\left (e^{2 i (a+b x)}\right )}{2 b^4}+\frac {3 i x^2 \text {Li}_2\left (e^{2 i (a+b x)}\right )}{2 b^2}-\frac {3 x \text {Li}_3\left (e^{2 i (a+b x)}\right )}{2 b^3}-\frac {(3 i) \operatorname {Subst}\left (\int \frac {\text {Li}_3(x)}{x} \, dx,x,e^{2 i (a+b x)}\right )}{4 b^4}\\ &=-\frac {3 i x^2}{2 b^2}-\frac {x^3}{2 b}+\frac {i x^4}{4}-\frac {3 x^2 \cot (a+b x)}{2 b^2}-\frac {x^3 \cot ^2(a+b x)}{2 b}+\frac {3 x \log \left (1-e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac {x^3 \log \left (1-e^{2 i (a+b x)}\right )}{b}-\frac {3 i \text {Li}_2\left (e^{2 i (a+b x)}\right )}{2 b^4}+\frac {3 i x^2 \text {Li}_2\left (e^{2 i (a+b x)}\right )}{2 b^2}-\frac {3 x \text {Li}_3\left (e^{2 i (a+b x)}\right )}{2 b^3}-\frac {3 i \text {Li}_4\left (e^{2 i (a+b x)}\right )}{4 b^4}\\ \end {align*}

________________________________________________________________________________________

Mathematica [B]  time = 6.81, size = 461, normalized size = 2.28 \[ \frac {3 x^2 \csc (a) \sin (b x) \csc (a+b x)}{2 b^2}-\frac {3 \csc (a) \sec (a) \left (b^2 x^2 e^{i \tan ^{-1}(\tan (a))}+\frac {\tan (a) \left (i \text {Li}_2\left (e^{2 i \left (b x+\tan ^{-1}(\tan (a))\right )}\right )+i b x \left (2 \tan ^{-1}(\tan (a))-\pi \right )-2 \left (\tan ^{-1}(\tan (a))+b x\right ) \log \left (1-e^{2 i \left (\tan ^{-1}(\tan (a))+b x\right )}\right )+2 \tan ^{-1}(\tan (a)) \log \left (\sin \left (\tan ^{-1}(\tan (a))+b x\right )\right )-\pi \log \left (1+e^{-2 i b x}\right )+\pi \log (\cos (b x))\right )}{\sqrt {\tan ^2(a)+1}}\right )}{2 b^4 \sqrt {\sec ^2(a) \left (\sin ^2(a)+\cos ^2(a)\right )}}+\frac {e^{i a} \csc (a) \left (e^{-2 i a} b^4 x^4+2 i \left (1-e^{-2 i a}\right ) b^3 x^3 \log \left (1-e^{-i (a+b x)}\right )+2 i \left (1-e^{-2 i a}\right ) b^3 x^3 \log \left (1+e^{-i (a+b x)}\right )-6 e^{-2 i a} \left (-1+e^{2 i a}\right ) \left (b^2 x^2 \text {Li}_2\left (-e^{-i (a+b x)}\right )-2 i b x \text {Li}_3\left (-e^{-i (a+b x)}\right )-2 \text {Li}_4\left (-e^{-i (a+b x)}\right )\right )-6 e^{-2 i a} \left (-1+e^{2 i a}\right ) \left (b^2 x^2 \text {Li}_2\left (e^{-i (a+b x)}\right )-2 i b x \text {Li}_3\left (e^{-i (a+b x)}\right )-2 \text {Li}_4\left (e^{-i (a+b x)}\right )\right )\right )}{4 b^4}-\frac {x^3 \csc ^2(a+b x)}{2 b}-\frac {1}{4} x^4 \cot (a) \]

Warning: Unable to verify antiderivative.

[In]

Integrate[x^3*Cot[a + b*x]^3,x]

[Out]

-1/4*(x^4*Cot[a]) - (x^3*Csc[a + b*x]^2)/(2*b) + (E^(I*a)*Csc[a]*((b^4*x^4)/E^((2*I)*a) + (2*I)*b^3*(1 - E^((-
2*I)*a))*x^3*Log[1 - E^((-I)*(a + b*x))] + (2*I)*b^3*(1 - E^((-2*I)*a))*x^3*Log[1 + E^((-I)*(a + b*x))] - (6*(
-1 + E^((2*I)*a))*(b^2*x^2*PolyLog[2, -E^((-I)*(a + b*x))] - (2*I)*b*x*PolyLog[3, -E^((-I)*(a + b*x))] - 2*Pol
yLog[4, -E^((-I)*(a + b*x))]))/E^((2*I)*a) - (6*(-1 + E^((2*I)*a))*(b^2*x^2*PolyLog[2, E^((-I)*(a + b*x))] - (
2*I)*b*x*PolyLog[3, E^((-I)*(a + b*x))] - 2*PolyLog[4, E^((-I)*(a + b*x))]))/E^((2*I)*a)))/(4*b^4) + (3*x^2*Cs
c[a]*Csc[a + b*x]*Sin[b*x])/(2*b^2) - (3*Csc[a]*Sec[a]*(b^2*E^(I*ArcTan[Tan[a]])*x^2 + ((I*b*x*(-Pi + 2*ArcTan
[Tan[a]]) - Pi*Log[1 + E^((-2*I)*b*x)] - 2*(b*x + ArcTan[Tan[a]])*Log[1 - E^((2*I)*(b*x + ArcTan[Tan[a]]))] +
Pi*Log[Cos[b*x]] + 2*ArcTan[Tan[a]]*Log[Sin[b*x + ArcTan[Tan[a]]]] + I*PolyLog[2, E^((2*I)*(b*x + ArcTan[Tan[a
]]))])*Tan[a])/Sqrt[1 + Tan[a]^2]))/(2*b^4*Sqrt[Sec[a]^2*(Cos[a]^2 + Sin[a]^2)])

________________________________________________________________________________________

fricas [C]  time = 2.05, size = 565, normalized size = 2.80 \[ \frac {8 \, b^{3} x^{3} + 12 \, b^{2} x^{2} \sin \left (2 \, b x + 2 \, a\right ) + {\left (-6 i \, b^{2} x^{2} + {\left (6 i \, b^{2} x^{2} - 6 i\right )} \cos \left (2 \, b x + 2 \, a\right ) + 6 i\right )} {\rm Li}_2\left (\cos \left (2 \, b x + 2 \, a\right ) + i \, \sin \left (2 \, b x + 2 \, a\right )\right ) + {\left (6 i \, b^{2} x^{2} + {\left (-6 i \, b^{2} x^{2} + 6 i\right )} \cos \left (2 \, b x + 2 \, a\right ) - 6 i\right )} {\rm Li}_2\left (\cos \left (2 \, b x + 2 \, a\right ) - i \, \sin \left (2 \, b x + 2 \, a\right )\right ) - 4 \, {\left (a^{3} - {\left (a^{3} - 3 \, a\right )} \cos \left (2 \, b x + 2 \, a\right ) - 3 \, a\right )} \log \left (-\frac {1}{2} \, \cos \left (2 \, b x + 2 \, a\right ) + \frac {1}{2} i \, \sin \left (2 \, b x + 2 \, a\right ) + \frac {1}{2}\right ) - 4 \, {\left (a^{3} - {\left (a^{3} - 3 \, a\right )} \cos \left (2 \, b x + 2 \, a\right ) - 3 \, a\right )} \log \left (-\frac {1}{2} \, \cos \left (2 \, b x + 2 \, a\right ) - \frac {1}{2} i \, \sin \left (2 \, b x + 2 \, a\right ) + \frac {1}{2}\right ) + 4 \, {\left (b^{3} x^{3} + a^{3} - 3 \, b x - {\left (b^{3} x^{3} + a^{3} - 3 \, b x - 3 \, a\right )} \cos \left (2 \, b x + 2 \, a\right ) - 3 \, a\right )} \log \left (-\cos \left (2 \, b x + 2 \, a\right ) + i \, \sin \left (2 \, b x + 2 \, a\right ) + 1\right ) + 4 \, {\left (b^{3} x^{3} + a^{3} - 3 \, b x - {\left (b^{3} x^{3} + a^{3} - 3 \, b x - 3 \, a\right )} \cos \left (2 \, b x + 2 \, a\right ) - 3 \, a\right )} \log \left (-\cos \left (2 \, b x + 2 \, a\right ) - i \, \sin \left (2 \, b x + 2 \, a\right ) + 1\right ) + {\left (-3 i \, \cos \left (2 \, b x + 2 \, a\right ) + 3 i\right )} {\rm polylog}\left (4, \cos \left (2 \, b x + 2 \, a\right ) + i \, \sin \left (2 \, b x + 2 \, a\right )\right ) + {\left (3 i \, \cos \left (2 \, b x + 2 \, a\right ) - 3 i\right )} {\rm polylog}\left (4, \cos \left (2 \, b x + 2 \, a\right ) - i \, \sin \left (2 \, b x + 2 \, a\right )\right ) - 6 \, {\left (b x \cos \left (2 \, b x + 2 \, a\right ) - b x\right )} {\rm polylog}\left (3, \cos \left (2 \, b x + 2 \, a\right ) + i \, \sin \left (2 \, b x + 2 \, a\right )\right ) - 6 \, {\left (b x \cos \left (2 \, b x + 2 \, a\right ) - b x\right )} {\rm polylog}\left (3, \cos \left (2 \, b x + 2 \, a\right ) - i \, \sin \left (2 \, b x + 2 \, a\right )\right )}{8 \, {\left (b^{4} \cos \left (2 \, b x + 2 \, a\right ) - b^{4}\right )}} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(x^3*cot(b*x+a)^3,x, algorithm="fricas")

[Out]

1/8*(8*b^3*x^3 + 12*b^2*x^2*sin(2*b*x + 2*a) + (-6*I*b^2*x^2 + (6*I*b^2*x^2 - 6*I)*cos(2*b*x + 2*a) + 6*I)*dil
og(cos(2*b*x + 2*a) + I*sin(2*b*x + 2*a)) + (6*I*b^2*x^2 + (-6*I*b^2*x^2 + 6*I)*cos(2*b*x + 2*a) - 6*I)*dilog(
cos(2*b*x + 2*a) - I*sin(2*b*x + 2*a)) - 4*(a^3 - (a^3 - 3*a)*cos(2*b*x + 2*a) - 3*a)*log(-1/2*cos(2*b*x + 2*a
) + 1/2*I*sin(2*b*x + 2*a) + 1/2) - 4*(a^3 - (a^3 - 3*a)*cos(2*b*x + 2*a) - 3*a)*log(-1/2*cos(2*b*x + 2*a) - 1
/2*I*sin(2*b*x + 2*a) + 1/2) + 4*(b^3*x^3 + a^3 - 3*b*x - (b^3*x^3 + a^3 - 3*b*x - 3*a)*cos(2*b*x + 2*a) - 3*a
)*log(-cos(2*b*x + 2*a) + I*sin(2*b*x + 2*a) + 1) + 4*(b^3*x^3 + a^3 - 3*b*x - (b^3*x^3 + a^3 - 3*b*x - 3*a)*c
os(2*b*x + 2*a) - 3*a)*log(-cos(2*b*x + 2*a) - I*sin(2*b*x + 2*a) + 1) + (-3*I*cos(2*b*x + 2*a) + 3*I)*polylog
(4, cos(2*b*x + 2*a) + I*sin(2*b*x + 2*a)) + (3*I*cos(2*b*x + 2*a) - 3*I)*polylog(4, cos(2*b*x + 2*a) - I*sin(
2*b*x + 2*a)) - 6*(b*x*cos(2*b*x + 2*a) - b*x)*polylog(3, cos(2*b*x + 2*a) + I*sin(2*b*x + 2*a)) - 6*(b*x*cos(
2*b*x + 2*a) - b*x)*polylog(3, cos(2*b*x + 2*a) - I*sin(2*b*x + 2*a)))/(b^4*cos(2*b*x + 2*a) - b^4)

________________________________________________________________________________________

giac [F]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \[ \int x^{3} \cot \left (b x + a\right )^{3}\,{d x} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(x^3*cot(b*x+a)^3,x, algorithm="giac")

[Out]

integrate(x^3*cot(b*x + a)^3, x)

________________________________________________________________________________________

maple [B]  time = 1.06, size = 444, normalized size = 2.20 \[ \frac {3 i \polylog \left (2, {\mathrm e}^{i \left (b x +a \right )}\right ) x^{2}}{b^{2}}+\frac {x^{2} \left (2 b x \,{\mathrm e}^{2 i \left (b x +a \right )}-3 i {\mathrm e}^{2 i \left (b x +a \right )}+3 i\right )}{b^{2} \left ({\mathrm e}^{2 i \left (b x +a \right )}-1\right )^{2}}+\frac {2 i a^{3} x}{b^{3}}+\frac {3 i \polylog \left (2, -{\mathrm e}^{i \left (b x +a \right )}\right ) x^{2}}{b^{2}}-\frac {6 i a x}{b^{3}}-\frac {3 i x^{2}}{b^{2}}+\frac {3 \ln \left ({\mathrm e}^{i \left (b x +a \right )}+1\right ) x}{b^{3}}+\frac {3 \ln \left (1-{\mathrm e}^{i \left (b x +a \right )}\right ) x}{b^{3}}+\frac {6 a \ln \left ({\mathrm e}^{i \left (b x +a \right )}\right )}{b^{4}}-\frac {3 a \ln \left ({\mathrm e}^{i \left (b x +a \right )}-1\right )}{b^{4}}+\frac {3 a \ln \left (1-{\mathrm e}^{i \left (b x +a \right )}\right )}{b^{4}}-\frac {6 \polylog \left (3, -{\mathrm e}^{i \left (b x +a \right )}\right ) x}{b^{3}}-\frac {3 i \polylog \left (2, {\mathrm e}^{i \left (b x +a \right )}\right )}{b^{4}}-\frac {3 i \polylog \left (2, -{\mathrm e}^{i \left (b x +a \right )}\right )}{b^{4}}-\frac {3 i a^{2}}{b^{4}}+\frac {a^{3} \ln \left ({\mathrm e}^{i \left (b x +a \right )}-1\right )}{b^{4}}-\frac {\ln \left (1-{\mathrm e}^{i \left (b x +a \right )}\right ) a^{3}}{b^{4}}-\frac {\ln \left (1-{\mathrm e}^{i \left (b x +a \right )}\right ) x^{3}}{b}+\frac {3 i a^{4}}{2 b^{4}}-\frac {2 a^{3} \ln \left ({\mathrm e}^{i \left (b x +a \right )}\right )}{b^{4}}-\frac {6 \polylog \left (3, {\mathrm e}^{i \left (b x +a \right )}\right ) x}{b^{3}}-\frac {\ln \left ({\mathrm e}^{i \left (b x +a \right )}+1\right ) x^{3}}{b}-\frac {6 i \polylog \left (4, -{\mathrm e}^{i \left (b x +a \right )}\right )}{b^{4}}-\frac {6 i \polylog \left (4, {\mathrm e}^{i \left (b x +a \right )}\right )}{b^{4}}+\frac {i x^{4}}{4} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(x^3*cot(b*x+a)^3,x)

[Out]

-3*I/b^2*x^2-6*I/b^3*a*x+3*I/b^2*polylog(2,-exp(I*(b*x+a)))*x^2+3*I/b^2*polylog(2,exp(I*(b*x+a)))*x^2+2*I/b^3*
a^3*x+1/4*I*x^4-1/b*ln(1-exp(I*(b*x+a)))*x^3-1/b*ln(exp(I*(b*x+a))+1)*x^3+3/b^3*ln(exp(I*(b*x+a))+1)*x+3/b^3*l
n(1-exp(I*(b*x+a)))*x-6/b^3*polylog(3,exp(I*(b*x+a)))*x-6/b^3*polylog(3,-exp(I*(b*x+a)))*x+6/b^4*a*ln(exp(I*(b
*x+a)))-1/b^4*ln(1-exp(I*(b*x+a)))*a^3+x^2*(2*b*x*exp(2*I*(b*x+a))-3*I*exp(2*I*(b*x+a))+3*I)/b^2/(exp(2*I*(b*x
+a))-1)^2-3/b^4*a*ln(exp(I*(b*x+a))-1)-2/b^4*a^3*ln(exp(I*(b*x+a)))+3/b^4*a*ln(1-exp(I*(b*x+a)))-3*I/b^4*a^2+3
/2*I/b^4*a^4-3*I/b^4*polylog(2,exp(I*(b*x+a)))-3*I/b^4*polylog(2,-exp(I*(b*x+a)))-6*I/b^4*polylog(4,exp(I*(b*x
+a)))-6*I/b^4*polylog(4,-exp(I*(b*x+a)))+1/b^4*a^3*ln(exp(I*(b*x+a))-1)

________________________________________________________________________________________

maxima [B]  time = 0.75, size = 1970, normalized size = 9.75 \[ \text {result too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(x^3*cot(b*x+a)^3,x, algorithm="maxima")

[Out]

1/2*(a^3*(1/sin(b*x + a)^2 + log(sin(b*x + a)^2)) + 2*((b*x + a)^4 - 4*(b*x + a)^3*a + 6*(b*x + a)^2*a^2 + 12*
a^2 - (4*(b*x + a)^3 - 12*(b*x + a)^2*a + 12*(a^2 - 1)*(b*x + a) + 4*((b*x + a)^3 - 3*(b*x + a)^2*a + 3*(a^2 -
1)*(b*x + a) + 3*a)*cos(4*b*x + 4*a) - 8*((b*x + a)^3 - 3*(b*x + a)^2*a + 3*(a^2 - 1)*(b*x + a) + 3*a)*cos(2*
b*x + 2*a) + (4*I*(b*x + a)^3 - 12*I*(b*x + a)^2*a + (12*I*a^2 - 12*I)*(b*x + a) + 12*I*a)*sin(4*b*x + 4*a) +
(-8*I*(b*x + a)^3 + 24*I*(b*x + a)^2*a + (-24*I*a^2 + 24*I)*(b*x + a) - 24*I*a)*sin(2*b*x + 2*a) + 12*a)*arcta
n2(sin(b*x + a), cos(b*x + a) + 1) - (12*a*cos(4*b*x + 4*a) - 24*a*cos(2*b*x + 2*a) + 12*I*a*sin(4*b*x + 4*a)
- 24*I*a*sin(2*b*x + 2*a) + 12*a)*arctan2(sin(b*x + a), cos(b*x + a) - 1) + (4*(b*x + a)^3 - 12*(b*x + a)^2*a
+ 12*(a^2 - 1)*(b*x + a) + 4*((b*x + a)^3 - 3*(b*x + a)^2*a + 3*(a^2 - 1)*(b*x + a))*cos(4*b*x + 4*a) - 8*((b*
x + a)^3 - 3*(b*x + a)^2*a + 3*(a^2 - 1)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) - (-4*I*(b*x + a)^3 + 12*I*(b*x + a)^2*a
+ (-12*I*a^2 + 12*I)*(b*x + a))*sin(4*b*x + 4*a) - (8*I*(b*x + a)^3 - 24*I*(b*x + a)^2*a + (24*I*a^2 - 24*I)*(
b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*arctan2(sin(b*x + a), -cos(b*x + a) + 1) + ((b*x + a)^4 - 4*(b*x + a)^3*a + 6*(a^2
- 2)*(b*x + a)^2 + 24*(b*x + a)*a)*cos(4*b*x + 4*a) - (2*(b*x + a)^4 - (b*x + a)^3*(8*a - 8*I) + 12*(a^2 - 2*
I*a - 1)*(b*x + a)^2 + (24*I*a^2 + 24*a)*(b*x + a) + 12*a^2)*cos(2*b*x + 2*a) + (12*(b*x + a)^2 - 24*(b*x + a)
*a + 12*a^2 + 12*((b*x + a)^2 - 2*(b*x + a)*a + a^2 - 1)*cos(4*b*x + 4*a) - 24*((b*x + a)^2 - 2*(b*x + a)*a +
a^2 - 1)*cos(2*b*x + 2*a) - (-12*I*(b*x + a)^2 + 24*I*(b*x + a)*a - 12*I*a^2 + 12*I)*sin(4*b*x + 4*a) - (24*I*
(b*x + a)^2 - 48*I*(b*x + a)*a + 24*I*a^2 - 24*I)*sin(2*b*x + 2*a) - 12)*dilog(-e^(I*b*x + I*a)) + (12*(b*x +
a)^2 - 24*(b*x + a)*a + 12*a^2 + 12*((b*x + a)^2 - 2*(b*x + a)*a + a^2 - 1)*cos(4*b*x + 4*a) - 24*((b*x + a)^2
- 2*(b*x + a)*a + a^2 - 1)*cos(2*b*x + 2*a) - (-12*I*(b*x + a)^2 + 24*I*(b*x + a)*a - 12*I*a^2 + 12*I)*sin(4*
b*x + 4*a) - (24*I*(b*x + a)^2 - 48*I*(b*x + a)*a + 24*I*a^2 - 24*I)*sin(2*b*x + 2*a) - 12)*dilog(e^(I*b*x + I
*a)) - (-2*I*(b*x + a)^3 + 6*I*(b*x + a)^2*a + (-6*I*a^2 + 6*I)*(b*x + a) + (-2*I*(b*x + a)^3 + 6*I*(b*x + a)^
2*a + (-6*I*a^2 + 6*I)*(b*x + a) - 6*I*a)*cos(4*b*x + 4*a) + (4*I*(b*x + a)^3 - 12*I*(b*x + a)^2*a + (12*I*a^2
- 12*I)*(b*x + a) + 12*I*a)*cos(2*b*x + 2*a) + 2*((b*x + a)^3 - 3*(b*x + a)^2*a + 3*(a^2 - 1)*(b*x + a) + 3*a
)*sin(4*b*x + 4*a) - 4*((b*x + a)^3 - 3*(b*x + a)^2*a + 3*(a^2 - 1)*(b*x + a) + 3*a)*sin(2*b*x + 2*a) - 6*I*a)
*log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 + 2*cos(b*x + a) + 1) - (-2*I*(b*x + a)^3 + 6*I*(b*x + a)^2*a + (-6*I*a^2
+ 6*I)*(b*x + a) + (-2*I*(b*x + a)^3 + 6*I*(b*x + a)^2*a + (-6*I*a^2 + 6*I)*(b*x + a) - 6*I*a)*cos(4*b*x + 4*
a) + (4*I*(b*x + a)^3 - 12*I*(b*x + a)^2*a + (12*I*a^2 - 12*I)*(b*x + a) + 12*I*a)*cos(2*b*x + 2*a) + 2*((b*x
+ a)^3 - 3*(b*x + a)^2*a + 3*(a^2 - 1)*(b*x + a) + 3*a)*sin(4*b*x + 4*a) - 4*((b*x + a)^3 - 3*(b*x + a)^2*a +
3*(a^2 - 1)*(b*x + a) + 3*a)*sin(2*b*x + 2*a) - 6*I*a)*log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 - 2*cos(b*x + a) +
1) - (24*cos(4*b*x + 4*a) - 48*cos(2*b*x + 2*a) + 24*I*sin(4*b*x + 4*a) - 48*I*sin(2*b*x + 2*a) + 24)*polylog(
4, -e^(I*b*x + I*a)) - (24*cos(4*b*x + 4*a) - 48*cos(2*b*x + 2*a) + 24*I*sin(4*b*x + 4*a) - 48*I*sin(2*b*x + 2
*a) + 24)*polylog(4, e^(I*b*x + I*a)) - (-24*I*b*x*cos(4*b*x + 4*a) + 48*I*b*x*cos(2*b*x + 2*a) + 24*b*x*sin(4
*b*x + 4*a) - 48*b*x*sin(2*b*x + 2*a) - 24*I*b*x)*polylog(3, -e^(I*b*x + I*a)) - (-24*I*b*x*cos(4*b*x + 4*a) +
48*I*b*x*cos(2*b*x + 2*a) + 24*b*x*sin(4*b*x + 4*a) - 48*b*x*sin(2*b*x + 2*a) - 24*I*b*x)*polylog(3, e^(I*b*x
+ I*a)) - (-I*(b*x + a)^4 + 4*I*(b*x + a)^3*a + (-6*I*a^2 + 12*I)*(b*x + a)^2 - 24*I*(b*x + a)*a)*sin(4*b*x +
4*a) - (2*I*(b*x + a)^4 - 8*(b*x + a)^3*(I*a + 1) + (12*I*a^2 + 24*a - 12*I)*(b*x + a)^2 - 24*(a^2 - I*a)*(b*
x + a) + 12*I*a^2)*sin(2*b*x + 2*a))/(-4*I*cos(4*b*x + 4*a) + 8*I*cos(2*b*x + 2*a) + 4*sin(4*b*x + 4*a) - 8*si
n(2*b*x + 2*a) - 4*I))/b^4

________________________________________________________________________________________

mupad [F]  time = 0.00, size = -1, normalized size = -0.00 \[ \int x^3\,{\mathrm {cot}\left (a+b\,x\right )}^3 \,d x \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(x^3*cot(a + b*x)^3,x)

[Out]

int(x^3*cot(a + b*x)^3, x)

________________________________________________________________________________________

sympy [F]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \[ \int x^{3} \cot ^{3}{\left (a + b x \right )}\, dx \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(x**3*cot(b*x+a)**3,x)

[Out]

Integral(x**3*cot(a + b*x)**3, x)

________________________________________________________________________________________